14 – Le décalage spectral dû à l'expansion de l'univers  
          Considérons une source lumineuse S lointaine dont la lumière est étudiée par un observateur en un point O de notre galaxie. On suppose que S et O sont fixes pour des observateurs newtoniens respectivement voisins de S et de O : les trajectoires de S et de O dans l'éther sont donc des méridiens. Comme la lumière suit le chemin le plus court possible, il semble raisonnable de supposer que les photons émis par S et reçus en O ne sont pas sortis de l’espace euclidien à 3 dimensions E contenant les méridiens de S et de O : ils ont donc cheminé sur la sphère ordinaire W de diamètre alpha-omega qui est l'intersection de cet espace E et de l'éther. En supposant que ces photons soient restés loin de toute matière ordinaire, leurs trajectoires sont donc des loxodromies de cette sphère W qui coupent les méridiens sous un angle de 45 °. En les transformant en spirales logarithmiques par projection stéréographique, de centre omega, sur le plan tangent au point alpha à la sphère W, on obtient la relation 
(1)   tg(ctO/2R) = ej.tg(ctS/2R)
 
où R est le rayon de l'éther, tS le temps propre de S au moment de l’émission d’un photon, tO le temps propre  de O au moment de la réception de ce même photon et j l’écart angulaire entre S et O, c'est-à-dire la mesure de l’angle dièdre formé par les méridiens de S et de O. Désignons par TS  et TO  les périodes absolues de l'onde associée à ce photon au départ et à l'arrivée ; le décalage spectral Z dû à l'expansion de l'univers vaut :
Z = (TO - TS  )/ TS

Comme j est constant, en prenant la différentielle logarithmique des deux membres de la relation (1), on obtient :
 
TO/TS = sin(ctO/R)/sin(ctS/R)

D'où :
(2)   Z = sint(ctO/R)/sin(ctS/R) – 1