15 – Calcul des grandes distances cosmiques 
         On conserve les notations de la page précédente. La distance de S à O est tellement grande que l’on peut négliger la petite différence qui existe entre t0, le temps propre de l’observateur situé au point O de notre galaxie au moment de sa mesure, et l’âge actuel de l’univers, de sorte que le rayon actuel de l’univers vaut (cf. page 10) :  ρ = R.sin(ct0/R).
          L’hyperplan de E2 qui contient la position actuelle de notre univers
SIGMA(tau) est orthogonal à l’axe alpha-omega et réalise donc une section droite de l’angle dièdre formé par les méridiens de S et de O ; cette section droite est précisément formée par les rayons de SIGMA(tau) qui joignent son centre aux positions actuelles de S et de O et dont l’angle vaut donc j. On en déduit que la distance actuelle d de S à O, c’est-à-dire la longueur de l’arc de cercle qui est  le plus court chemin reliant S et O dans SIGMA(tau), est :
d = ρ.j = j. R.sin(ct0/R).

Considérons la fonction numérique psi de 3 variables réelles t0, R, Z définie par le programme  suivant :

ctS = R.Arcsin[sin(ct0/R)/(Z+1)]     [cf formule (14,2)]

j = Ln[tg(ct0/2R)] – Ln[tg(ctS/2R)     [cf formule (14,1)]

 d = j.R.sin(ct0/R)

psi(t0, R, Z) = d    

Il est clair que, si t0 est l’âge actuel de l’univers et R le rayon de l’éther,  psi(t0, R, Z) représente la distance actuelle d à notre galaxie d’une source éloignée S dont la lumière présente le décalage spectral Z. Les unités choisies sont le Ga (1 milliard d'années) pour les temps et le Gal (1 milliard d'années-lumière) pour les distances. Les formules précédentes demeurent valables à condition d'y remplacer c par 1. EXCEL se prête très bien à ce calcul.

Préparation de la feuille Excel - Dans les cellules suivantes 

to        R
A2      B2
Z        Ts           j      dGal     dMpc      u         H
A4      B4     C4     D4      E4      F4      G4

entrer :

dans A2 : l'âge de l'univers to (13.8)

dans B2 : le rayon de l'éther R (provsoirement une valeur  quelconque (par exemple 50)
dans A4 : le Z de la source dont on veut connaître la distance actuelle
dans B4 : la formule
 = $B$2*ASIN(SIN($A$2/$B$2 )/(A4+1)) qui donne en Ga l'âge ts de l'univers lors de l'émission de la lumière par la source S ;
dans C4 : la formule 
= LN( TAN($A$2/(2*$B$2)))-LN( TAN(B4/(2*$B$2)))  
qui donne la mesure j en radians de l'angle dièdre formé par les méridiens de S et de l'observateur O ;
dans D4 : la formule  =C4*$B$2*SIN($A$2/$B$2) qui donne la distance actuelle de la source S en Gal ;
dans E4 : la formule
=D4/0,003262 qui donne cette distance en Mpc 
dans F4 : la formule 
=(A4+1)*(A4+1) qui donne le carré u de (Z+1) utile pour le calcul de H ;
dans G4 : la formule
=(300000*(F4-1)/(F4+1))/E4 qui donne la valeur correspondante de la "constante" H de Hubble 
 
Justification de ce calcul :
Z+1 = racine carrée de  ((c+v)/(c-v))  ; 
u =(Z+1)²  ; 
v = c.(u-1)/(u+1) où c = 300000  ; 
H = v/d (km/s)/Mpc


Détermination du rayon R de l'éther
 
Entrer dans la colonne A les valeurs de Z de centièmes en centièmes de la ligne 4 à la ligne 203 (par exemple): 0.01 ; 0.02 ; etc
Recopier vers le bas les cellules B4,C4,D4,E4,F4, G4 jusqu'à la ligne 203
Entrer dans A2 l'âge 13.8 Ga de l'univers
et dans B2 une valeur arbitraire de R (50 par exemple)
Des valeurs possibles de la constante de Hubble apparaissent.
           On constate que, quelle que soit la valeur de R choisie, les valeurs de H qui sont affichées sont toutes inférieures à 73.48 - 1.66 ce qui exclut la valeur 73.5.
          On constate aussi que si on choisit R < 32, lesvaleurs de H affichées son inférieures à 67.8 - 0.9 ; donc R est au moins égal à 32.  Pour que la valur 67.8 soit affichée, il faut que R soit au moins égal à 36.66.
          


: choisir la valeur de R de façon à obtenir le meilleur accord possible avec les mesures du CMB par Planck. La valeur R = 45 Gal semble assez bien convenir.

On constate que H n'est pas une constante mais que, pour les distances inférieures à 1500 Mpc, elle peut être considérée comme une constante dont le nombre 67.8 est une valeur approchée à moins de 1.5 %.